多项式乘法是一项基本的数学操作，在数学课上我们都学过怎样手动地把两个括号中的多项式展开。

可以让计算机模拟人类，用同样的方式进行计算，但是，可以利用快速傅里叶变换（简称FFT）创建一个更快捷的方法。FFT采用分治思想降低时间复杂度。

快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换的算法。它利用了分治算法的思想，将问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将结果合并。

以下是一个简单的Python实现：

import cmath  
import math  
  
def fft(x):  
    N = len(x)  
    if N <= 1:  
        return x  
    even = fft(x[0::2])  
    odd =  fft(x[1::2])  
    T= [cmath.exp(-2j*cmath.pi*k/N)*odd[k] for k in range(N//2)]  
    return [even[k] + T[k] for k in range(N//2)] + \  
           [even[k] - T[k] for k in range(N//2)]  
  
# 测试FFT函数  
x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]  
print(fft(x))  # 输出：[0j, 3+0j, -1+2j, -3+0j, -1-2j, 3-0j, 0-4j, -3-0j]

这个FFT函数首先检查输入数组的长度。如果长度为1或更小，那么它直接返回输入数组，因为一个点的DFT是它本身。如果长度大于1，那么它将输入数组分为两个等长的子数组，并递归地计算这两个子数组的DFT。然后，它使用这些DFT结果和一些复数运算来计算原始数组的DFT。这个过程是通过分治算法实现的，将问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将结果合并。